1001 Miglia

La ¹²√2 ben temperata.

Suonando la chitarra puo' nascere la domanda (o no?) del perche' i capotasti sono disposti in quella maniera non uniforme sul manico. I capotasti sono quelle stanghette di metallo che stanno perpendicolari alle corde sul manico e delimitano "le note" della chitarra (mentre in strumenti quali violini, viole o contrabbassi non esistono).

E allora mi sono chiesto perche' la loro distanza nella chitarra diminuisce, e soprattutto di quanto diminuisce, perche' mi sapeva di cosa interessante. E in effetti lo e' (o no?). E la cosa porta lontano, agli arbori della musica come la conosciamo noi occidentali. Pur essendo un totale ignorante di storia della musica, mi arrischio a una spiegazione che sara' piena di errori storici (spero meno matematici).

Prima che Bach la rendesse ufficialmente riconosciuta, la musica (o meglio il modo di suonarla e scriverla) era diversa. La ragione stava nei suoi mattoni fondamentali, le note. Le note non erano quelle che noi conosciamo. Ogni nota e' in verita' una frequenza di un'onda acustica, quindi le frequenze usate, diciamo nel medioevo, non erano quelle che usa Max Pezzali oggi giorno (il che porta a chiedersi se ci sia stata vera evoluzione).

La ragione di questa differenza sta nelle scale usate. Prima di Bach (che uso come riferimento non so quanto correttamente) impazzava la scala Pitagorica o una sua parente chiamata Naturale, mentre Bach e Max Pezzali decisero che quella non andava troppo bene e coniarono insieme quella cosidetta Temperata. Bach quindi scrisse Il clavicembalo ben temperato e Max Pezzali Sei un mito. Entrambi ebbero un discreto successo, a dimostrazione del fatto che l'orecchio delle persone non e' troppo sensibile a stonature e piccole imprecisioni in frequenza.

Problemi Pitagorici

Perche' le stonature c'erano. Per gli 883 e' facile immaginarlo, ma anche per Bach non ci si puo' esimere dalla constatazione. Perche' stonature? La scala Pitagorica e' naturale in quanto si basa su un principio immediato: la divisione in due di un intervallo o di una corda di chitarra. Dividendo a meta' una corda (sempre alla stessa tensione) si ottiene il doppio della sua frequenza. Dal principio della divisione a meta' si possono generare tutte le note. E all'orecchio umano questo piace, l'armonia tra le frequenze generate pare naturale. Ma esistono problemi, legate alle terribili quinte del diavolo e al loro famigerato Circolo delle quinte, che mai puo' essere chiuso.

La quinta e' la nota che si ottiene moltiplicando una frequenza f_o per 1.5, cioe' 3/2 (cioe' aggiungendole meta' di se stessa, cosa che Pitagora ama fare sempre). La quinta di Do e' Sol per esempio, ovvero f_sol = 1.5 f_do. Il problema con Pitagora e la sua scala e' che se parto da Do e salgo in frequenza sempre di quinta in quinta, prima o poi vorrei tornare a un Do. Di qualche ottava sopra, ma sempre un Do vorrei. E invece no.

Per ottenere la stessa nota ma all'ottava superiore devo raddoppiare la sua frequenza. I chitarristi sanno che bisogna dividere a meta' una corda per salire di un'ottava, ridurla a un quarto per salire ancora di un'altra ottava, etc. Quindi se parto da una frequenza f_o, alla seconda ottava avro' 2f_o, alla terza ottava la frequenza sara' 4f_o e cosi' via. Alla n-esima ottava la frequenza sara' in generale 2ⁿf_o.

Quindi Pitagora con la sua scala vorrebbe che, salendo di quinta in quinta, da una frequenza f_o si possa arrivare a una qualche ottava di f_o. Salire di quinta in quinta da f_o, diciamo un numero m di volte, significa passare dalla frequenza f_o alla frequenza 1.5^mf_o (seguendo lo stesso ragionamento fatto sopra per il "passare di ottava in ottava", ma con 1.5 invece di 2). Ed ecco il problema. Pitagora vorrebbe quindi che fosse vero, per qualche ottava n e qualche quinta m, che 1.5^mf_o = 2ⁿf_o, ovvero che 1.5^m = 2ⁿ . Ma la cosa non e' possibile perche' non esistono due numeri n, m tali da rendere vera quest'espressione.

Quindi. Bhe' il problema con la scala Pitagorica era quindi che allontanandosi dalla nota iniziale non si tornava precisamente a quella stessa dopo qualche ottava (dovrebbero essere n = 7 ). La cosa rendeva complicato sia suonare che scrivere musica, soprattutto da quando i compositori iniziarono a non limitarsi alle solite poche ottave nelle loro composizioni. E' come dire che il Do alla destra della tastiera di un pianoforte era stonato con quello alla sinistra. Inaccettabile per Bach quanto per Max Pezzali (pur utilizzando lui al massimo tre note, era quella una questione di principio).

Stemperare via la linearita'

Quindi come fare? Da una parte la Scala Pitagorica era naturalmente armoniosa per via delle divisioni a meta', dall'altra non poteva chiudere il circolo delle quinte malefiche. La soluzione fu di approssimare e lasciar passare piccole imperfezioni di frequenze per ottenere un pianoforte e una chitarra possibile da accordare e suonare. Bach capi' che era piu' importante avere lo stesso Do su tutta la tastiera del suo piano, piuttosto che salvaguardare delle armonie naturalmente "lineari". D'altra parte, ebbe a pensare, chi in futuro avrebbe apprezzato Max Pezzali di quelle piccole imperfezioni pitagoriche non avrebbe certo fatto troppo caso. E Sei un mito pote' librarsi in cielo, e il Karaoke vedere la luce del giorno quando l'umanita' fu finalmente pronta.

Il problema era riuscire a dividere l'intervallo di un'ottava (cioe' da f_o a 2f_o) in 12 parti (perche' compresi i # le note sono 12) in maniera speciale. Cioe' in maniera che le frequenze di due note successive stessero sempre nello stesso rapporto. Vediamo come e poi il perche' si capira'.

Se parto dalla frequenza f_o, voglio che dopo 12 di questi intervalli la nota sia la stessa ma un'ottava sopra, cioe' 2f_o. Diciamo che f₁ e' la frequenza della nota successiva a f_o in questa nuova scala, e f₂ quella successiva a f₁, etc. (Quindi sarebbe per esempio: f_o = Do, f₁ = Do#, f₂ = Re, etc.). Allora dicevamo che dobbiamo avere la dodicesima nota della scala uguale alla prima ma un'ottava sopra, cioe' f₁₂ = 2f_o .

Inoltre, pero', vogliamo che due note successive stiano sempre nello stesso rapporto. Chiamiamo questo rapporto x, e il problema diventa trovarlo. Quindi deve succedere che:

f₁ = f_o x
f₂ = f₁ x = f_o x²
f₃ = f₂ x = f_o x³
(...)
f₁₁ = f₁₀ x = f_o x¹¹
f₁₂ = f₁₁ x = f_o x¹² = 2f_o

E finalmente dall'ultima relazione si arriva a trovare che il rapporto tra due frequenze successive che risolverebbe tutti i problemi e' x = ¹²√2 ( = 1.0594..., numero irrazionale, che non e' un giudizio su di lui ma indica che non e' un numero esprimibile tramite frazione). Pezzali esulta, i suoi dischi sono salvi. Per passare da una nota f_n alla successiva f_n+1 dobbiamo moltiplicare la frequenza della prima per x = ¹²√2 . Ecco inventato il semitono.

Infatti vediamo cosa succede con le quinte (il perche' di questa scelta). Un intervallo di quinta (da a Do a Sol per esempio) contiene 7 semitoni, quindi la quinta di f_o e'

f₇ = f_o ( ¹²√2 )⁷

cioe' il rapporto di quinta e' f₇ / f_o = ( ¹²√2 )⁷ = 1.4983..., invece del pitagorico 1.5 . Differenza minima, l'orecchio non se ne accorge. In piu' la cosa importante e' che se ora da f_o saliamo di ben 12 intervalli di quinta (quindi 12 volte 7 semitoni) si ottiene:

f_{( 7 x 12)} = f_o[( ¹²√2 )⁷]¹² = f_o 2⁷,

il che significa che dopo 12 intervalli di quinta ( f_{( 7 x 12)} ) finalmente ritroviamo perfettamente un'ottava (la 7^ma ottava) della nota di partenza f_o (cioe' f_o 2⁷). Il circolo delle quinte e' finalmente chiuso.

Capotasti

Tornando ai capotasti della chitarra, da cui tutto e' nato, la cosa e' esattamente la stessa, tranne per il fatto di ricordarsi che la frequenza di una corda e' inversamente proporzionale alla sua lunghezza l. La nota f_o viene dalla corda intera l_o, la nota al primo capotasto f₁ viene dalla lunghezza della corda l₁, .... Allora le lunghezze della corda alle varie note della scala devono essere (vale sempre x = ¹²√2 ) :

l₁ = l_o / x
l₂ = l_o / x²
(...)
l_n = l_o / xⁿ

Se cerchiamo di quanto sono spaziati i capotasti fra loro, la lunghezza di tastiera compresa tra due capotasti successivi (n-esimo e (n+1)-esimo) sara'

c_n = l_n - l_n+1 = l_o (1/x^n-1 - 1/xⁿ)

Cosicche' il primo capotasto e' lungo il 5.61% di l_o, il secondo 5.29%, il terzo 5.00%, ... , il dodicesimo 2.80%. Vabbe', chi vuole puo' costruirsi una chitarra ora. Lasciare il commento Sei un mito sara' apprezzato ma non vale.